Kopfrechnen

 

Bedingt durch die Verbreitung von Taschenrechnern, sind viele Schüler leider nicht mehr fit im Kopfrechnen. Also hier zur

Errinnerung sind die Regeln für Teilbarkeit - d.h. 'Ist M teilbar durch N? Ohne Taschenrechner, nur mit Kopfrechnen !'

 

Die meisten Leute kennen etwa vier Teilbarkeitsregeln:

  • Eine Zahl M ist durch 2 teilbar wenn sie gerade ist
  • Eine Zahl M ist durch 3 teilbar wenn der Quersumme der Ziffern auch durch 3 teilbar ist.
    Beispiel 534 : 5+3+4=12, 12 ist durch 3 teilbar, also ist 534 auch durch 3 teilbar.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar wenn sie mit 0 endet.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar wenn sie mit 5 oder 0 endet.

    Aber wie sind die andere Regeln? die für 4,6,8,9 sind überschaubar, resp. herleitbar

     

  • Eine Zahl M ist durch 4 teilbar wenn deren letzte 2 Ziffer durch 4 teilbar sind.
    Beispiel : 1984676 ist durch 4 teilbar weil 76 durch 4 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 6 teilbar wenn er gerade ist UND wenn dessen Quersumme durch 3 teilbar ist.
    Beispiel : 1872 ist gerade und der Quersumme 1+8+7+2=18 ist durch 3 teilbar, also ist 1872 durch 6 teilbar.
  • Eine Zahl M ist durch 8 teilbar wenn deren letzte 3 Ziffer durch 8 teilbar sind.
    Beispiel : 1984872 ist durch 8 teilbar weil 872 durch 8 teilbar ist.

    Eine Zahl M ist durch 9 teilbar wenn deren Quersumme durch 9 teilbar ist. Beispiel 451872 hat

  •  Quersumme 4+5+1+8+7+2=27. 27 ist durch 9 teilbar, also ist 451872 auch durch 9 teilbar.

     
    Anhand die Beispiele für weiter-zerlegbare Zahlen wie 4,6,8 und 9 haben wir gesehen, dass man mit die
  • Faktoren arbeiten kann. Also brauchen wir nur noch Regeln für die Primzahlenwerte für N. (7,11,13 usw.)

     

    Viele Leute unbekannt ist der Regel für die Teilbarkeit durch 7.

    Man nehme das letzte Ziffer weg, verdoppele ihn und subtrahiere dies von die verbliebene Ziffern. Ist das Ergebnis durch 7 teilbar,

  •  so war der Ausgangszahl auch durch 7 teilbar. Ist dies noch unbekannt, so wiederholt

  •  man mit dem nun kurzere Zahl, bis klar ist ob es am Ende durch 7 teilbar ist.
    Beispiel: 826. Den Ziffer 6 nehmen, verdoppeln, also 12.

  • Dies von den verbliebene 82 subtrahieren. Ergibt 70, was klar durch 7 teilbar ist. Also ist 826 auch durch 7 teilbar.

    Schwieriger wird es für die nächste 4 Primzahlen, also 11 , 13, 17 und 19.

    Um Teilbarkeit durch 11 festzustellen, gehe wie folgt vor. Beispiel mit 365167484. Addiere die Ziffern an die ungerade Stellen; hier 3+5+6+4+4=22. Jetzt addiere

  • die Ziffern an die gerade Stellen; hier 6+1+7+8=22. Subtrahiere diese beide Zahlen; hier 22-22 =0.

  • Wenn das Ergebnis durch 11 teilbar ist (inkl. 0, wie hier), dann ist der Ursprungszahl auch durch 11 teilbar.
    Oder: lösche der letzter Ziffer vom Zahl und subtrahiere dies vom verbleibende Teil. Wiederhole

  •  bis eine 2-stellige Zahl bleibt. Wenn diese durch 11 teilbar ist, so war der ursprungliche Zahl auch.
    Beispiel: 19151 --> 1915 - 1 = 1914; 1914 --> 191 - 4 = 187; 187 --> 18 - 7 = 11; Also ist 19151 auch durch 11 teilbar.

    Um Teilbarkeit durch 13 festzustellen, gehe wie folgt vor. Beispiel mit 19773. Entferne den letzten Ziffer. Subtrahiere 9 mal diese Ziffer von

  • der gebliebene Zahl. Ist das Ergebnis durch 13 teilbar, dann war auch der Ursprungszahl teilbar. Hier also 1977-9*3= 1950.

  • Wiederholen, also 195-9*0 = 195. Wiederholen, also 19-9*5 = -26 Und da -26 durch 13 teilbar ist, ist 19773 auch durch 13 teilbar :)
    Oder: Lösche der letzter Ziffer vom Zahl. Multipliere dieser letzte Ziffer mal 4. Addiere dies zum verbleibende Teil. Wiederhole bis eine 2-stellige

  • Zahl bleibt. Wenn diese durch 13 teilbar ist, so war der ursprungliche Zahl auch.
    Beispiel: 50661 --> 5066 + 4 = 5070; 5070 --> 507 + 0 = 507; 507 --> 50 + 28 = 78; 78 ist teilbar durch 13. Also ist 50661 auch durch 13 teilbar.

    Um Teilbarkeit durch 17 festzustellen, gehe wie folgt vor. Lösche der letzter Ziffer vom Zahl. Multipliere dieser letzte Ziffer mal 5 . Subtrahiere dies vom

  •  verbleibende Teil. Wiederhole bis eine 2- oder 3-stellige Zahl bleibt. Wenn diese durch 17 teilbar ist, so war der ursprungliche Zahl auch.
    Beispiel: 3978 --> 397-5*8 = 357; 357 --> 35 -5*7 = 0; Also war 3978 auch durch 17 teilbar.

    Um Teilbarkeit durch 19 festzustellen, gehe wie folgt vor. Lösche der letzter Ziffer vom Zahl. Multipliere

  • #dieser letzte Ziffer mal 2. Addiere dies zum verbleibende Teil.

  • Wiederhole bis eine 2- oder 3-stellige Zahl bleibt. Wenn diese durch 19 teilbar ist, so war der ursprungliche Zahl auch.
    Beispiel: 101156 --> 10115 +2*6 = 10127; 10127 --> 1012 + 2*7 = 1026; 1026 --> 102 +2*6=114; und weil 114 = 6*19, also durch 19 teilbar, so ist 101156 auch durch 19 teilbar.

    Und hier steht wie man kontrolliert ob eine Euro Geldschein echt ist :)